La finanza moderna concepisce ogni giornata di contrattazione come una questione a sé stante, simile a una partita a testa o croce con una moneta equilibrata: il risultato di ogni lancio non influenzerà in alcun modo i successivi. Il suddetto paragone è da attribuirsi al matematico francese Bachelier, che accostò le due fattispecie, affermando così l’indipendenza dei prezzi tra due osservazioni temporalmente contigue. Il francese si spinse oltre, assimilando la dinamica dei prezzi al moto browniano delle particelle in un fluido, descritto dalla meccanica come una realtà completamente casuale.
I successori di Bachelier partirono dai suoi studi e vi applicarono una metafora già popolare negli ambiti matematici e probabilistici: la passeggiata dell’ubriaco. In tale esempio, il soggetto potrà effettuare un numero qualunque di passi e in qualunque direzione, ma, in media, si sarà ritrovato esattamente allo stesso punto di partenza alla fine del periodo di osservazione. Applicato ai prezzi delle attività finanziarie, si tratta di una delle tante applicazioni della distribuzione normale: l’evento più probabile sarà la media dei risultati possibili, cioè una variazione nulla rispetto all’inizio del periodo di osservazione.
Anzitutto, può essere utile osservare il grafico dei rendimenti dell’indice S&P 500 tra il 1950 e il 2012 rispetto al tempo:
Il grafico, ottenuto con il software open-source per l'analisi statistica ed econometrica WinIDAMS, mostra, sostanzialmente, l’affollarsi di buona parte degli oltre 15000 dati rilevati intorno alla media, ma anche una spiccata volatilità, soprattutto per quel che concerne i dati più recenti, nella parte destra della figura.
Il discorso, dunque, ruota intorno al concetto di cammino casuale e, indirettamente, di indipendenza tra i prezzi, oltre al già citato concetto di distribuzione normale. La statistica fornisce numerosi test per valutare la dipendenza e l’indipendenza tra le variabili casuali. È possibile applicarne due, uno per la dipendenza e l’altro per l’indipendenza, per osservare quanto e come, nei campioni osservati, il passato possa realmente influenzare il futuro.
Il primo test consiste nella ricerca di turning points (punti di svolta). Il test dei punti di svolta è molto utilizzato nell’ambito dell’analisi della stazionarietà (e quindi la mancanza di trend) delle serie storiche. Un punto di svolta è un picco nella distribuzione, cioè un elemento della serie in cui si verifica un’inversione di tendenza. Se il numero di turning points contati supera il relativo valore atteso, si può dire che non esistono tendenze all’interno della serie considerata e questa è distribuita casualmente.
Esiste una certa confusione, però, riguardo la presenza di un buon grado di stazionarità nelle serie storiche dei rendimenti. Ad esempio, volendo applicare il metodo alla succitata serie storica dell’S&P 500, si ottiene un totale di 9975 turning points, contro un valore atteso di 10539. Applicando invece i rendimenti giornalieri dal 1990 al 2012 dell’indice tedesco DAX, si contano 3717 turning points, lievemente superiore al valore atteso 3713. Evidentemente, il test dei turning points non è sufficiente.
Il calcolo del coefficiente di Hurst, invece, appare più chiaro, dal momento che misura la presenza o meno di dipendenza a lungo termine all’interno della serie storica. Introdotto dall’idrologo inglese Harold Edwin Hurst nel 1951 e ripreso da Mandelbrot nel 1975, il coefficiente H misura il grado di autosimilarità a lungo termine delle serie storiche. Anche grazie all’opera di altri economisti come Edgar Peters, autore di Fractal Market Analysis, il coefficiente di Hurst è spesso utilizzato da i critici della teoria tradizionale per confutare l’indipendenza della distribuzione dei rendimenti.
Per calcolare il coefficiente di Hurst, è necessario utilizzare la misura della persistenza elaborata da Mandelbrot: la Rescaled Range Analysis (R/S). La statistica R/S misura semplicemente se, tra gli n dati, e nel corso di intervalli di lunghezze diverse k, la differenza tra valori massimi e minimi dei dati è superiore o inferiore a quella prevedibile e se i dati sono indipendentemente distribuiti. Sequenze ininterrotte di valori positivi e negativi spingono i valori estremi ad essere più distanti dalla media, portando il massimo e il minimo ad essere separati più di quanto non preveda il denominatore della formula, vale a dire la deviazione standard.
Il coefficiente H di Hurst viene calcolato proprio a partire dalla Rescaled Range Analysis, rapportando il logaritmo naturale del risultato del test R/S con quello della metà dell'ampiezza n del campione. Per valori di H compresi tra 0,5 e 1, si può affermare che la serie storica presenta una persistenza e una dipendenza a lungo termine assimilabile a quella individuata da Hurst ed elaborata da Mandelbrot.
È possibile, per comprendere e illustrare il funzionamento della metodologia, applicarla alle fattispecie viste prima; tale applicazione ha prodotto i risultati sintetizzati dalla seguente tabella, in cui sono stati inseriti anche quelli relativi al test dei turning points di cui sopra, per fornire un quadro di analisi più generale:
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|
Periodo di osservazione |
P |
E(p) |
p-E(p) |
H |
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S&P 500 |
1950-2012 |
9975 |
10539 |
-564 |
0,707608 |
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DAX |
1990-2012 |
3717 |
3713,333 |
3,666667 |
0,602193 |
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Gold |
2002-2012 |
2016 |
2436,667 |
-420,667 |
0,706078 |
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ENI |
2001-2012 |
1990 |
1968 |
22 |
0,574647 |
|
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Brent |
2002-2012 |
1714 |
1725,333 |
-11,3333 |
0,662210 |
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Apple |
1984-2012 |
4600 |
4732,667 |
-132,667 |
0,677859 |
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FTSE 100 |
1984-2012 |
4740 |
4813,333 |
-73,3333 |
0,624706 |
La tabella, in cui sono state inserite anche altre fattispecie finanziarie, mostra come, nonostante le differenze di specie, provenienza geografica e periodo di osservazione, il coefficiente H si mantenga costantemente sopra la soglia della non-persistenza di 0,5. In particolare, è notevole come gli strumenti con una differenza tra turning points effettivi e attesi limitatamente negativa (FTSE 100 e Brent) o addirittura positiva (Eni e DAX) presentino invece un valore inferiore del coefficiente H, pur mantenendosi sopra quota 0,5. Non si riscontra invece nessun legame tra i risultati ottenuti e l’ampiezza del periodo di osservazione.
Se ne evince che, se il test dei turning points ha lasciato un certo grado di casualità nelle serie storiche considerate, il coefficiente H e la relativa Rescaled Range Analysis hanno attribuito ai campioni osservati una buona persistenza, indicandone sostanzialmente la dipendenza a lungo termine.
Il cammino casuale previsto da Bachelier e dai suoi molti seguaci è stato messo in discussione dai fautori della dipendenza a lungo termine, i quali adducono quale prova dell’erroneità di tale comportamento proprio la Rescaled Range Analysis e il relativo coefficiente di Hurst riportati in queste pagine.